Question

5．如图，△OAB是等边三角形，边长为12，AB⊥y轴于C．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若△OC′B′与△OCB关于直线y=x对称，试求C′，B′两点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形三线合一的性质求出AC和BC的长，并由勾股定理求高线OC的长，写出A、B两点的坐标；
（2）根据对称的性质得：△BCO≌△B′C′O，且OC′在x轴上，从而求C′，B′两点的坐标．

解答 解：（1）如图1，∵△OAB是等边三角形，且AB⊥OC，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=6，
∵OB=12，
由勾股定理得：OC=$\sqrt{O{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=$\sqrt{108}$=6$\sqrt{3}$，
∴A（-6，6$\sqrt{3}$），B（6，6$\sqrt{3}$）；
（2）如图2，
∵△OC′B′与△OCB关于直线y=x对称，
又∵OC在y轴上，
∴OC′在x轴上，OC′=OC=6$\sqrt{3}$，且△BCO≌△B′C′O，
∴∠OC′B′=∠OCB=90°，B′C′=BC=6，
∴B′（6$\sqrt{3}$，6），C′（6$\sqrt{3}$，0）．

点评 本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、直线y=x的图象及几何变换，明确对称的两个全等是全等形，熟练掌握等边三角形三线合一的性质，在一次函数中，直线y=x属于特殊的直线，该直线与x轴和与y轴的夹角为45°．