Question

16．如图，关于x的二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；
（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC．

解答 解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$
解得：b=-4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x²-4x+3；
（2）令y=0，则x²-4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3$\sqrt{2}$，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图所示：

①当CP=CB时，PC=3$\sqrt{2}$，∴OP=OC+PC=3+3$\sqrt{2}$或OP=PC-OC=3$\sqrt{2}$-3
∴P₁（0，3+3$\sqrt{2}$），P₂（0，3-3$\sqrt{2}$）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P₃（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P₄（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3$\sqrt{2}$）或（0，3-3$\sqrt{2}$）或（0，-3）或（0，0）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．