Question

7．概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2^③，读作“2的圈3次方”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）记作（-3）^④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把$\underset{\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}}{n个a}$（a≠0）记作a，读作“a的圈n次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果：2^③=$\frac{1}{2}$，（-$\frac{1}{2}$）^⑤=-8；
（2）关于除方，下列说法错误的是C
A．任何非零数的圈2次方都等于1；   
B．对于任何正整数n，1^?=1；   
C.3^④=4^③       
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（-3）^④=$\frac{1}{{3}^{2}}$；5^⑥=$\frac{1}{{5}^{4}}$；（-$\frac{1}{2}$）^⑩=2⁸．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于$\frac{1}{{a}^{n-2}}$；
（3）算一算：24÷2³+（-8）×2^③．

Answer 1

分析 理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果．

解答 解：初步探究
（1）2^③=2÷2÷2=$\frac{1}{2}$，
（-$\frac{1}{2}$）^⑤=（-$\frac{1}{2}$）÷（-$\frac{1}{2}$）÷（-$\frac{1}{2}$）÷（-$\frac{1}{2}$）÷（-$\frac{1}{2}$）=1÷（-$\frac{1}{2}$）÷（-$\frac{1}{2}$）÷（-$\frac{1}{2}$）=（-2）÷（-$\frac{1}{2}$）÷（-$\frac{1}{2}$）=-8
故答案为：$\frac{1}{2}$，-8；
（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1^?都等于1； 所以选项B正确；
C、3^④=3÷3÷3÷3=$\frac{1}{9}$，4^③=4÷4÷4=$\frac{1}{4}$，则 3^④≠4^③； 所以选项C错误；
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；
本题选择说法错误的，故选C；
深入思考
（1）（-3）^④=（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）=1×（$\frac{1}{3}$）²⁼$\frac{1}{{3}^{2}}$；
5^⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=1×（$\frac{1}{5}$）^4₌$\frac{1}{{5}^{4}}$；
（-$\frac{1}{2}$）^⑩=（-$\frac{1}{2}$）÷（-$\frac{1}{2}$）÷（-$\frac{1}{2}$）÷（-$\frac{1}{2}$）÷（-$\frac{1}{2}$）÷（-$\frac{1}{2}$）÷（-$\frac{1}{2}$）÷（-$\frac{1}{2}$）÷（-$\frac{1}{2}$）÷（-$\frac{1}{2}$）
=1×2×2×2×2×2×2×2×2
=2⁸；
故答案为：$\frac{1}{{3}^{2}}$，$\frac{1}{{5}^{4}}$，2⁸．
（2）a^?=a÷a÷a…÷a=1÷a^n-2=$\frac{1}{{a}^{n-2}}$．
（3）：24÷2³+（-8）×2^③
=24÷8+（-8）×$\frac{1}{2}$
=3-4
=-1．

点评 本题考查了新运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义．