Question

19．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点0，AC平分∠BCD，且$\frac{CB}{CD}$=$\frac{CA}{CO}$．
（1）求证：AB=0B；
（2）若BC=3，DC=2，且AD：AB=$\sqrt{10}$：3，求证：$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OD}{AD}$．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质得到∠BCA=∠DCA，由$\frac{CB}{CD}$=$\frac{CA}{CO}$，证得△ABC∽△ODC，根据相似三角形的性质得到∠DOC=∠BAC，等量代换得到∠BAO=∠BOA，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{OD}=\frac{AC}{OC}=\frac{BC}{CD}=\frac{3}{2}$，求得AB=$\frac{3}{2}$OD，AC=$\frac{3}{2}$OC，得到AO=$\frac{1}{2}$OC，设AD=$\sqrt{10}$x，则AB=OB=3x，OD=2x，过A作AH⊥BD，设OH=a，由勾股定理得列方程得到（3x）²-（3x-a）²=（$\sqrt{10}$x）²-（2x+a）²，解得：a=$\frac{3}{5}$x，求得BH=$\frac{12}{5}$x，AH=$\sqrt{（3x）^{2}-（\frac{12}{5}x）}=\frac{9}{5}x$，AO=$\sqrt{（\frac{3}{5}x）^{2}+（\frac{9}{5}x）^{2}}$=$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$x，计算得到$\frac{AO}{BO}$=$\frac{\frac{3}{5}\sqrt{10}x}{3x}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{OD}{AD}$$\frac{2x}{\sqrt{10}x}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$于是得到结论．

解答 证明：（1）∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA，
∵$\frac{CB}{CD}$=$\frac{CA}{CO}$，
∴△ABC∽△ODC，
∴∠DOC=∠BAC，
∵∠AOB=∠DOC，
∴∠BAO=∠BOA，
∴AB=OB；

（2）∵△ABC∽△ODC，
∴$\frac{AB}{OD}=\frac{AC}{OC}=\frac{BC}{CD}=\frac{3}{2}$，
∴AB=$\frac{3}{2}$OD，AC=$\frac{3}{2}$OC，
∴AO=$\frac{1}{2}$OC，
设AD=$\sqrt{10}$x，则AB=OB=3x，OD=2x，
过A作AH⊥BD，设OH=a，
由勾股定理得AB²-BH²=AD²-DH²，
即（3x）²-（3x-a）²=（$\sqrt{10}$x）²-（2x+a）²，
解得：a=$\frac{3}{5}$x，
∴BH=$\frac{12}{5}$x，
∴AH=$\sqrt{（3x）^{2}-（\frac{12}{5}x）}=\frac{9}{5}x$，
∴AO=$\sqrt{（\frac{3}{5}x）^{2}+（\frac{9}{5}x）^{2}}$=$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$x，
∴$\frac{AO}{BO}$=$\frac{\frac{3}{5}\sqrt{10}x}{3x}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{OD}{AD}$$\frac{2x}{\sqrt{10}x}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OD}{AD}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，正确的作出正方形是解题的关键．