Question

如图，在直角坐标系中，直线y=

1

3

x+1与x轴、y轴的交点分别为A、B，以x=-1为对称轴的抛物线y=-x²+bx+c与x轴分别交于点A、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t．设抛物线的对称轴l与x轴交于一点D，连接PD，交AB于E，求出当以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似时点P的坐标；
（3）点M是对称轴上任意一点，在抛物线上是否存在点N，使以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线方程易求点A的坐标，由抛物线的对称性可以求得点C的坐标；然后写出抛物线的交点式方程即可；
（2）需要分类讨论：①当∠ADE=90°时，△ADE∽△AOB．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，坐标为（-1，4）；
②当∠AED=90°时，△AED∽△AOB．过点P作PG⊥AC于点G，则△AED∽△CGD．根据相似三角形的对应边成比例列出关于t的一元二次方程：-t²+2t+3=3（-1-t），通过解该方程可以求得t的值；
（3）需要分类讨论：以AB为边和以AB为对角线时的平行四边形．

解答：解：（1）∵直线y=

1

3

x+1与x轴交点为A，
∴点A的坐标为（-3，0），
∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴点C的坐标为（1，0），
∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴分别交于点A、C，
∴抛物线为y=-（x+3）（x-1）=-x²-2x+3；

（2）∵抛物线y=-x²-2x+3的对称轴为x=-1，
∴点D的坐标为（-1，0），
①当∠ADE=90°时，△ADE∽△AOB．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，坐标为（-1，4）；
②当∠AED=90°时，△AED∽△AOB．
过点P作PG⊥AC于点G，则△AED∽△PGD．
于是

GD

PG

=

DE

AE

=

OB

OA

=

1

3

，
∴PG=3GD．
即：-t²+2t+3=3（-1-t），
解得 t₁=-2，t₂=3（不合题意，舍去）．
当t=2时，-2²+2×2+3=3，
所以此时点P的坐标为（-2，3）．
综上所述，点P的坐标是（-1，4）或（-2，3）；

（3）点N的坐标为：以线段AB为边时，N₁（2，-5），N₂（-4，-5），
以线段AB为对角线时，N₃（-2，3）．
综上所述，点N的坐标分别是：N₁（2，-5），N₂（-4，-5），N₃（-2，3）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．