Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．已知OA=4，CE=，
（1）CD=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根据垂径定理知CD=2CE；
（2）在Rt△OCE中，根据勾股定理知，OE=2；然后根据图形中相关线段间的和差关系求得AE的长度即可；
（3）根据题意证得△AOC为等边三角形，则∠COB=120°，由扇形的面积公式求得S_扇形BOC=；然后Rt△ABF中利用特殊角的三角函数的定义求得BF=4；最后根据图中所示知
=--．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CE=，
∴CD=2CE=（垂径定理）；
故答案是：4；

（2）连接OC．
∵OA=4，
∴OC=OA=4；
又∵CE=2，
∴在Rt△OCE中，根据勾股定理知，OE==2；，
∴AE=OA-OE=2；
故答案是：2；
 
（3）∵在Rt△ACE中，tanA===，
∴∠A=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形．
∴∠COB=120°
∴S_扇形BOC=．
在Rt△ABF中：，BF=．
∴=--=×4×8--×4×2=16--4=12-．
点评：本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理以及扇形的面积计算．解答（3）题时，采用了“数形结合”的数学思想来求图中阴影部分的面积．