题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求证：
| FD |
| FC |
| BD |
| DC |
（2）若
| BC |
| FC |
| 5 |
| 4 |
| BD |
| DC |
分析：（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根据∠F=∠F证△FBD∽△FDC，
即可；
（2）根据已知和三角形面积公式得出
=
，
=
，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出
=(
)2=
，即可求出
．
即可；
（2）根据已知和三角形面积公式得出
| S△BDC |
| S△FDC |
| 5 |
| 4 |
| S△BDF |
| S△FDC |
| 9 |
| 4 |
| S△BDF |
| S△FDC |
| BD |
| DC |
| 9 |
| 4 |
| BD |
| DC |
解答：（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵E是AC的中点，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠ACB=90°，∠BDC=90°
∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠ECD=∠B，
∴∠FDC=∠B，
∵∠F=∠F，
∴△FBD∽△FDC，
∴
=
．
（2）解：∵
=
，
∴
=
，
∴
=
，
∵△FBD∽△FDC，
∴
=(
)2=
，
∴
=
．
∴∠ADC=90°，
∵E是AC的中点
，∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠ACB=90°，∠BDC=90°
∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠ECD=∠B，
∴∠FDC=∠B，
∵∠F=∠F，
∴△FBD∽△FDC，
∴
| FD |
| FC |
| BD |
| DC |
（2）解：∵
| BC |
| FC |
| 5 |
| 4 |
∴
| S△BDC |
| S△FDC |
| 5 |
| 4 |
∴
| S△BDF |
| S△FDC |
| 9 |
| 4 |
∵△FBD∽△FDC，
∴
| S△BDF |
| S△FDC |
| BD |
| DC |
| 9 |
| 4 |
∴
| BD |
| DC |
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．
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