Question

4．如图，已知函数y=2x和函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4．
（1）求反比例函数的解析式及交点A、B的坐标；
（2）直接写出不等式$\frac{k}{x}$＞2x的解集；
（3）若P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的P点坐标．

Answer 1

分析 （1）利用△AOE的面积可求得k=OE•AE，再由两函数解析式可求得A、B坐标；
（2）由$\frac{k}{x}$＞2x可知反比例函数图象在正比例函数图象的上方，结合A、B坐标可写出不等式的解集；
（3）可求得OE的长，分P点在x轴下方和P在x轴上方两种情况，再结合平行四边形的性质可分别求得P点坐标．

解答 解：（1）如图1，

∵△AOE的面积为4，函数y=$\frac{k}{x}$的图象过一、三象限，
∴S_△AOE=$\frac{1}{2}$•OE•AE=4，
∴OE•AE=8，
∴xy=8，
∴k=8，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$
∵函数y=2x和函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A、B两点，
∴2x=$\frac{8}{x}$，
∴x=±2，
当x=2时，y=4，当x=-2时，y=-4，
∴A、B两点的坐标是：（2，4）（-2，-4）；
（2）当$\frac{k}{x}$＞2x时，即反比例函数图象在正比例函数图象的上方，
由图象可知x的取值范围为x＜-2或0＜x＜2，
∴不等式$\frac{k}{x}$＞2x的解集为x＜-2或0＜x＜2；
（3）由（1）可求得E点坐标为（2，0），∴OE=2，如图2，

当P点在x轴下方时，则有BP∥OE且BP=OE=2，且B点坐标为（-2，-4），
∴P点坐标分别为（0，-4）或（-4，-4），
当P点在x轴上方时，则有BO∥PE，且P到x轴的距离和B到x轴的距离相等，可求得此时P点坐标为（4，4），
综上可知满足条件的P点有3个，分别为：P₁（0，-4），P₂（-4，-4），P₃（4，4）．

点评 本题主要考查反比例函数综合应用，涉及待定系数法、图象的交点坐标、反比例函数的性质和平行四边形的性质等知识点．在（1）中注意k=xy的应用，在（2）中注意数形结合的应用，在（3）中确定出P的位置是解题的关键．本题考查知识相对基础，难度不大．