Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形；
（2）证明：DE=BC．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，即可得出四边形ADCE为菱形；
（2）由菱形的性质得出AC⊥DE，证出DE∥BC，再由CE∥AB，证出四边形BCED是平行四边形，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，
∴四边形ADCE为菱形；
（2）证明：∵四边形ADCE为菱形，
∴AC⊥DE，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴DE∥BC，
又∵CE∥AB，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴DE=BC．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明四边形BCED是平行四边形是解决问题（2）的关键．