题目内容

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ.点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点, HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运动.设BP的长为x,△HDE的面积为y.

(1)求证:△DHQ∽△ABC;

(2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值;

(3)当x为何值时,△HDE为等腰三角形?

 

【答案】

(1)∵A、D关于点Q成中心对称,HQ⊥AB,

∴=90°,HD=HA,

∴,…………………………………………………………………………3分

∴△DHQ∽△ABC. ……………………………………………………………………1分

 

 

 

 

 

 

 

(2)①如图1,当时,

ED=,QH=,

此时. …………………………………………3分

当时,最大值.

②如图2,当时,

ED=,QH=,

此时. …………………………………………2分

当时,最大值.

∴y与x之间的函数解析式为

y的最大值是.……………………………………………………………………1分

(3)①如图1,当时,

若DE=DH,∵DH=AH=, DE=,

∴=,.

显然ED=EH,HD=HE不可能; ……………………………………………………1分

②如图2,当时,

若DE=DH,=,;   …………………………………………1分

若HD=HE,此时点D,E分别与点B,A重合,;  ………………………1分

若ED=EH,则△EDH∽△HDA,

∴,,.   ……………………………………1分

∴当x的值为时,△HDE是等腰三角形.

(其他解法相应给分)

【解析】(1)根据对称性可得HD=HA,那么可得∠HDQ=∠A,加上已有的两个直角相等,那么所求的三角形相似;

(2)利用BP在不同位置的不同取值,得到y关于x的函数关系式,利用二次函数的最值即可求得最大值;

(3)等腰三角形有两边相等,根据所在的不同位置再分不同的边相等解答.

 

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