Question

4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为$\widehat{BC}$的中点，且∠DCF=∠P，求证：$\frac{BD}{PD}$=$\frac{FD}{ED}$=$\frac{CD}{AD}$．

Answer 1

分析 （1）连接CM，根据圆周角定理得出∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC，得出∠PAC=∠M，由∠M+∠MAC=90°，得出∠PAC+∠MAC=90°，即：∠MAP=90°，就可证得结论；
（2）连接AE，根据垂径定理得出AM⊥BC，进而得出AP∥BC，得出△ADP∽△CDB，根据相似三角形的性质得出$\frac{BD}{PD}$=$\frac{CD}{AD}$，然后证得△ADE∽△CDF，得出$\frac{CD}{DA}$=$\frac{FD}{ED}$，从而证得$\frac{BD}{PD}$=$\frac{FD}{ED}$=$\frac{CD}{AD}$．

解答 证明：（1）连接CM，
∵∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC，
∴∠PAC=∠M，
∵AM是直径，
∴∠M+∠MAC=90°，
∴∠PAC+∠MAC=90°，
即：∠MAP=90°，
∴MA⊥AP，
∴MA⊥AP，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接AE，
∵M为$\widehat{BC}$中点，AM为⊙O的直径，
∴AM⊥BC，
∵AM⊥AP，
∴AP∥BC，
∴△ADP∽△CDB，
∴$\frac{BD}{PD}$=$\frac{CD}{AD}$，
∵AP∥BC，
∴∠P=∠CBD，
∵∠CBD=∠CAE，
∴∠P=∠DCF，
∴∠DCF=∠CAE，
∵∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴$\frac{CD}{DA}$=$\frac{FD}{ED}$，
∴$\frac{BD}{PD}$=$\frac{FD}{ED}$=$\frac{CD}{AD}$．

点评 本题考查了圆周角定理的应用，切线的判定，垂径定理的应用，三角形相似的判定和性质，解答时正确添加辅助线是关键．