Question

如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是　　．

Answer 1

7【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．

【专题】几何图形问题．

【分析】根据线段中点的定义可得CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF，EG=FG，设DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC=AD．

【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=8，

∴CG=DG=×8=4，

在△DEG和△CFG中，

，

∴△DEG≌△CFG（ASA），

∴DE=CF，EG=FG，

设DE=x，

则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，

在Rt△DEG中，EG==，

∴EF=2，

∵FH垂直平分BE，

∴BF=EF，

∴4+2x=2，

解得x=3，

∴AD=AE+DE=4+3=7，

∴BC=AD=7．

故答案为：7．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．