Question

如图9，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．

 (1)试探索四边形EGFH的形状，并说明理由；

 (2)当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形?并加以证明；

 (3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论．

Answer 1

解（1）四边形EGFH是平行四边形

证明：∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点，

∴GF∥EH,GF=EH

∴四边形EGFH是平行四边形

（2）当点E是AD的中点时，四边形EGFH是菱形

证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AB=CD,∠A=∠D

∵AE=DE

∴△ABE≌△DCE

∴BE=CE

∵G、H分别是BE、CE的中点

∴EG=EH              

又由（1）知四边形EGFH是平行四边形

∴四边形EGFH是菱形

（3）EF⊥BC，EF=BC

证明：∵四边形EGFH是正方形

∴EG=EH, ∠BEC=90°

∵G、H分别是BE、CE的中点

∴EB=EC        

∵F是BC的中点

∴EF⊥BC，EF=BC

用其它证明方法也得分,过程略。