Question

（1）如图14，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=2cm，在AB边上取一点E，（点E与A、B不重合），连接DE、CE，分矩形ABCD所成的3个三角形都相似．我们把这样的点E叫做矩形ABCD的AB边上的强相似点，在图12的AB边上画出满足要求的强相似点E，并求AE的长；（画图工具不限）

 

（2）对于任意一个矩形ABCD，AB边上是否一定存在这样的强相似点E？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举例说明；

（3）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B＝90°，当点E是四边形ABCD的AB边上的一个强相似点时．

猜想：AE与BE的数量关系__________________________.

并分别给出理由.

Answer 1

解：（1）画图1，△DAE∽△EBC∽△CED．

∵△DAE∽△EBC,∴ 

设AE=xcm，则BE=（5-x）cm

即

解得，

∴AE的长为1cm 或4cm．

 

      

（2）对于任意的一个矩形，不一定存在，如正方形．

(答案不惟一，若学生画图说明即可．)

（3）AE与BE的数量关系为：BE＝2AE或BE＝AE

（注：写出一个关系即可得1分，全对得2分，下面证明共两种情况，每种情况占2分，共4分，具体方法请酌情赋分。）

理由如下：

∵DA∥CB  ∴∠A ＝∠B＝90°

第一种情况：如图3，∵点E是梯形ABCD的AB 边上的一个强相似点，

∠A＝∠B＝∠EDC＝90°，∠ADE＝∠BCE＝∠DCE，

∴△ADE∽△BCE∽△DCE．

所以∠DEA＝∠CEB＝∠DEC＝60°，…说明DE＝2AE，CE＝2BE，CE＝2DE，

即：2BE＝2×2AE

所以BE＝2AE．