Question

17．如图，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD=2BD，BE=CE，AE与CD相交于点F，若S_△ABC=6，求四边形BEFD的面积．

Answer 1

分析 根据边长关系进而得出三角形面积关系进而得出△FEG∽△FAD，求出四边形BEFD的面积．

解答 解：∵AD=2BD，S_△ABC=6，
∴S_△ADC=$\frac{2}{3}$S_△ABC=4，S_△BDC=$\frac{1}{3}$S_△ABC=2．
过E作EG∥AB交CD于G，
∵BE=CE，
∴CG=DG，
∴BD=2EG，
∵AD=2BD，
∴AD=4EG．
设S_△EGF=x．
∵EG∥BD，
∴△CEG∽△CBD，
∴S_△CEG： S_△CBD=（$\frac{CE}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴S_△CEG=$\frac{1}{4}$S_△CBD=$\frac{1}{4}$×2=$\frac{1}{2}$，S_梯形EGDB=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
设S_△FEG=x，则S_{四边形BEFD}=$\frac{3}{2}$-x，
∵S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_△ABC=3，
∴S_△ADF=S_△ABE-S_{四边形BEFD}=3-（$\frac{3}{2}$-x）=$\frac{3}{2}$+x．
∵EG∥AD，
∴△FEG∽△FAD，
∴S_△FEG：S_△FAD=（$\frac{EG}{AD}$）²=$\frac{1}{16}$，
∴S_△FAD=16S_△FEG=16x，
∴16x=$\frac{3}{2}$+x，
解得x=$\frac{1}{10}$，
∴S_{四边形BEFD}=$\frac{3}{2}$-x=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{10}$=$\frac{7}{5}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△FEG的面积是解题关键．