Question

已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点。
（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP、BP的延长线分别交⊙O′于点C、D，连接CD，则△PCD 是 （        ）三角形；
（2）若⊙O′与⊙O相交于点P、Q（见图乙），连接AQ、BQ并延长分别交⊙O′于点E、F，请选择下列两个问题中的一个作答：
问题一：判断△PEF的形状，并证明你的结论；
问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论. 我选择问题（      ），结论：（        ） 。

Answer 1

（1）等腰直角
 （2）
问题一：
△PEF是等腰直角三角形
证明：连接PA、PB
∵AB是直径，
∴∠AQB=∠EQF=90°
∴EF是⊙O′的直径，
∴∠EPF=90°
在△APE和△BPF中：
∵PA=PB，∠PBF=∠PAE ∠APE=∠BPF=90°+∠EPB，
∴△APE≌△BPF ∴PE=PF，
∴△PEF是等腰直角三角形
问题二：
AE=BF
证明：(如图丙所示)
连结AP、BP
则有：∠PAE=∠PBF，∠PEA=∠PFB，
又∵P为AB弧的中点，
∴AP=BP
∴△APE≌△BPF(AAS)
∴AE=BF