Question

如图10，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°.

（1）求证：PB是⊙O的切线；

图10

（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长.

Answer 1

（1）证明：连接OB.∵OA=OB,∴∠OBA=∠BAC=30°.∴         ∠AOB=180°－30°－30°=120°.∵PA切⊙O于点A,∴OA⊥PA,∴∠OAP=90°.

∵四边形的内角和为360°，

∴∠OBP=360°－90°－60°－120°=90°.

∴OB⊥PB.

又∵点B是⊙O上的一点，

∴PB是⊙O的切线.

（2）解：连接OP.∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∠OPA=

∠OPB=∠APB=30°.

在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，∴OP=2OA=2×2=4，

∴PA= ==2.

∵PA=PB,∠APB=60°,∴PA=PB=AB=2.