Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，
求此直线的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式解答即可；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴解析式，设对称轴与x轴的交点为C，求出AB的长度，再根据三角形的面积公式求出BC的长度，然后根据点B在x轴上方与下方两种情况得到点B的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），
∴

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=-4 c=3

，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+3；

（2）如图，设对称轴与x轴的交点为C，
∵对称轴直线为x=-

b

2a

=-

-4

2×1

=2，
∴点C的坐标为（2，0），
∵点A（-1，0），
∴AC=2-（-1）=2+1=3，
设直线AB与对称轴的交点为B，
∵直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，
∴

1

2

×AC•BC=6，
即

1

2

×3•BC=6，
解得BC=4，
∴点B的坐标为（2，4）或（2，-4），
设直线AB的解析式为y=kx+m，
则

-k+m=0 2k+m=4

或

-k+m=0 2k+m=-4

，
解得

k= 4 3 m= 4 3

或

k=- 4 3 m=- 4 3

．
所以，直线AB的解析式为：y=

4

3

x+

4

3

或y=-

4

3

x-

4

3

．

点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求抛物线解析式，待定系数法求直线解析式，以及三角形的面积，都是基本方法，难度不大，仔细分析便不难求解．