Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度（0＜α≤180°）得到四边形O′A′B′C′，此时直线OA′、直线′B′C′分别与直线BC相交于P、Q．在四边形OABC旋转过程中，若BP=

1

2

BQ，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

分析：构造全等三角形和直角三角形，运用勾股定理求得PC的长，进一步求得坐标．

解答：解：过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，
∵S_△POQ=

1

2

PQ•OC，S_△POQ=

1

2

OP•QH，
∴PQ=OP．
设BP=x，∵BP=

1

2

BQ，
∴BQ=2x，
如图1，当点P在点B左侧时，
OP=PQ=BQ+BP=3x，
在Rt△PCO中，（8+x）²+6²=（3x）²，
解得 x1=1+

3

2

6

，x2=1-

3

2

6

（不符实际，舍去）．
∴PC=BC+BP=9+

3

2

6

，
∴P₁（-9-

3

2

6

，6）．
如图2，当点P在点B右侧时，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=

25

4

．
∴PC=BC-BP=8-

25

4

=

7

4

，
∴P₂（-

7

4

，6），
综上可知，点P₁（-9-

3

2

6

，6），P₂（-

7

4

，6），使BP=

1

2

BQ．
故答案为：P₁（-9-

3

2

6

，6），P₂（-

7

4

，6）．

点评：此题考查了坐标与图形的变化---旋转，特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解．