Question

（2012•金牛区二模）在矩形纸片ABCD中，AD=12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．
（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；
（2）①如图2，DP=

1

3

AD，CQ=

1

3

BC，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；
②如图3，DP=

1

n

AD，CQ=

1

n

BC，点D的对应点F在PQ上．直接写出AE的长（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）首先由在矩形纸片ABCD中，P，Q分别为AD，BC的中点，易得四边形ABQP是矩形，又由AP=

1

2

AD=

1

2

AF，可得∠AFP=30°，∠PAF=60°，即可求得PF的长，由折叠的性质，易求得∠DAE=30°，即可求得AE的长；
（2）①由勾股定理，易求得PF的长；然后作FG⊥CD于点G，易证得△AFP∽△EFG，然后利用相似三角形的对应边成比例，求得DE的长，由勾股定理，即可求得AE的长；
②由勾股定理，易求得PF的长；然后作FG⊥CD于点G，易证得△AFP∽△EFG，然后利用相似三角形的对应边成比例，求得DE的长，由勾股定理，即可求得AE的长．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠DAB=90°，
∵PQ是矩形ABCD中AD，BC的中点，
∴AP=

1

2

AD，BQ=

1

2

BC，
∴AP=BQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴平行四边形ABQP是矩形，
∴∠APQ=90°，
由折叠的性质可得：AF=AD，
∴AP=

1

2

AD=

1

2

AF=6（cm），∠APF=90°，
∴∠AFP=30°，
∴PF=

3

AP=6

3

（cm），
∴∠FAD=60°，
∴∠DAE=

1

2

∠FAD=30°，
∴AE=

AD

cos30°

=8

3

（cm）；

（2）①∵DP=

1

3

AD=4（cm），
∴AP=

2

3

AD=8（cm），
∴FP=

AF2-AP2

=

122-82

=4

5

（cm），
作FG⊥CD于点G，
∵∠AFE=90°，
∴∠AFP=∠EFG，
∴△AFP∽△EFG，
∴

PF

AF

=

GF

EF

，
∵GF=DP=4cm，
∴DE=EF=

12 5

5

（cm），
∴AE=

AD2+DE2

=

12 30

5

（cm）；

②∵DP=

1

n

AD=

12

n

（cm），
∴AP=

12(n-1)

n

cm，
∴FP=

AF2-AP2

=

12 2n-1

n

（cm），
作FG⊥CD于点G，
∵∠AFE=90°，
∴∠AFP=∠EFG，
∴△AFP∽△EFG，
∴

PF

AF

=

GF

EF

，
∴DE=EF=

12

2n-1

cm，
∴AE=

AD2+DE2

=12

2n 2n-1

（cm）．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．