Question

（2012•金牛区二模）阅读材料：C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．设CD=x，若AB=4，DE=2，BD=8，则可用含x的代数式表示AC+CE的长为

16+(8-x)2

+

4+x2

．然后利用几何知识可知：当x=

8

3

时，AC+CE的最小值为10．根据以上阅读材料，可构图求出代数式

25+(12-x)2

+

9+x2

的最小值为

4

13

．

Answer 1

分析：根据已知图象，重新构造直角三角形，利用三角形相似得出CD的长，进而利用勾股定理得出最短路径问题．

解答：解：如图所示：C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．设CD=x，
若AB=5，DE=3，BD=12，
当A，C，E，在一条直线上，AE最短，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽EDC，
∴

AB

DE

=

BC

CD

，
∴

5

3

=

12-CD

CD

，
解得：DC=

9

2

．
即当x=

9

2

时，代数式

25+(12-x)2

+

9+x2

的最小值，
此时为：

25+(12- 9 2 ) 2

+

9+ ( 9 2 ) 2

=

5 13

2

+

3 13

2

=4

13

．
故答案为：4

13

．

点评：此题主要考查了求最短路线问题，利用了数形结合的思想，求形如的式子

25+(12-x)2

+

9+x2

的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．