Question

如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y=

k

x

图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F．已知B（1，3）．
（1）k=

 

；
（2）试说明AE=BF；
（3）当四边形ABCD的面积为

21

4

时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题,压轴题

分析：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=3；
（2）设A点坐标为（a，

3

a

），易得D点坐标为（0，

3

a

），P点坐标为（1，

3

a

），C点坐标为（1，0），根据图形与坐标的关系得到PB=3-

3

a

，PC=-

3

a

，PA=1-a，PD=1，则可计算出

PC

PB

=

PD

PA

=

1

1-a

，加上∠CPD=∠BPA，根据相似的判定得到△PCD∽△PBA，则∠PCD=∠PBA，于是判断CD∥BA，根据平行四边形的判定方法易得四边形BCDF、ADCE都是平行四边形，所以BF=CD，AE=CD，则BF=AE，于是有AE=BF；
（3）利用四边形ABCD的面积=S_△PAB-S_△PCD，和三角形面积公式得到

1

2

•（3-

3

a

）•（1-a）-

1

2

•1•（-

3

a

）=

21

4

，整理得a+

3

2

=0，然后解方程求出a的值，再写出P点坐标．

解答：解：（1）把B（1，3）代入y=

k

x

得k=1×3=3；
故答案为：3；

（2）反比例函数解析式为y=

3

x

，
设A点坐标为（a，

3

a

），
∵PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，
∴D点坐标为（0，

3

a

），P点坐标为（1，

3

a

），C点坐标为（1，0），
∴PB=3-

3

a

，PC=-

3

a

，PA=1-a，PD=1，
∴

PC

PB

=

- 3 a

3- 3 a

=

1

1-a

，

PD

PA

=

1

1-a

，
∴

PC

PB

=

PD

PA

，
而∠CPD=∠BPA，
∴△PCD∽△PBA，
∴∠PCD=∠PBA，
∴CD∥BA，
而BC∥DF，AD∥EC，
∴四边形BCDF、ADCE都是平行四边形，
∴BF=CD，AE=CD，
∴BF=AE，

（3）∵四边形ABCD的面积=S_△PAB-S_△PCD，
∴

1

2

•（3-

3

a

）•（1-a）-

1

2

•1•（-

3

a

）=

21

4

，
整理得a+

3

2

=0，解得a=-

3

2

，
∴P点坐标为（1，-2）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、图形与坐标和平行四边形的判定与性质；会利用三角形相似的知识证明角相等，从而证明直线平行．