题目内容

如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（6， $数学公式$ ）、C（0， $数学公式$ ），有两点P、Q同时从A点出发分别作匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位，当这两个点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两点从A点出发运动了t秒．
（1）动点P与Q哪一点先到达自己的终点？此时t为何值？
（2）若⊙B的半径为1，t为何值时以PQ为半径的⊙P既与⊙B相切又与AD相切？
（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能求出t的值或t的取值范围，若不可能请说明理由．

解：（1）作BM⊥AD于M；
∵B（6， $\text{[math]}$ ），
∴DM=6，BM= $\text{[math]}$ ；
∵A（8，0），
∴AM=8-6=2，
∴AB= $\text{[math]}$ =4，
∴P点到达终点的时间为：t=（BC+AB）÷2=5秒，
此时Q在距A点5个单位处，
∴P点先到达，此时t=5秒；

（2）∵由（1）可知∠BAM=30°；
∵AP：AQ=2：1，
∴PQ∥BM，
∴△PMA为直角三角形；
∵AB=4，
∴PQ= $\text{[math]}$ t，AP=2t，BP=4-2t，
∴ $\text{[math]}$ t±1=4-2t，
t=3（2- $\text{[math]}$ ）或t=5（2- $\text{[math]}$ ）；

（3）t= $\text{[math]}$ 时，以PQ为直径的圆能与CD相切，
设PQ的中点为M，过M作MN⊥y轴于N，过P点作PH⊥x轴于H；

依题意得：CP+OQ=2MN
10-2t+8-t=PQ
即（18-3t）²=PQ²=（2 $\text{[math]}$ ）²+[（8-t）-（10-2t）]²，
化简得：2t²-26t+77=0，
t= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
又t≤5，故取t= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）此题主要是求得AB的长，作BM⊥AD于M，根据点A，B的坐标运用勾股定理求得AB=4，同时发现30°的直角三角形ABM；根据题意，得点P运动的时间=（4+6）÷2=5秒，点Q运动的时间=8÷1=8秒，故点P先到达终点；
（2）根据路程=速度×时间，则AP=2t，所以BP=4-2t；根据（1）中发现的30°的直角三角形，结合AP=2AQ，发现PQ∥BM，则△APQ也是30°的直角三角形，从而求得PQ= $\text{[math]}$ t；再根据两圆相切，可能内切，也可能外切，当两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差；当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和列方程计算；
（3）若以PQ为直径的圆能与CD相切，则点P一定运动到了BC上；设PQ的中点为M，过M作MN⊥y轴于N，过P点作PH⊥x轴于H；根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，表示出PQ的长，再根据勾股定理列方程求解．
点评：本题考查了直线和圆的位置关系、两圆的位置关系、以及勾股定理．能够从中发现特殊的直角三角形是解题的关键．