Question

在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(5，0)，B(0，4)，C(－1，O)．点M和点N在x轴上(点M在点N的左边)，点N在原点的右边，作MP⊥BN，垂足为P(点P在线段BN上，且点P与点B不重合)，直线MP与y轴交于点G．MG＝BN．

(1)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

(2)求点M的坐标；

(3)设ON＝t，△MOG的面积为s，求s与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

(4)这点B作直线BK平行于x轴，在直线BK上是否存在点R，使△ORA为等腰三角形，若存在，请直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意，得：，解得：，∴所求的解析式为y＝－x2＋x＋4； 　　(2)依题意，分两种情况：①当点M在原点的左边(如图1)时，在Rt△BON中，∠1＋∠3＝，∵MP⊥BN，∴∠2＋∠3＝，∴∠1＝∠2，在Rt△BON和Rt△MOG中，，∴Rt△BON≌Rt△MOG，∴OM＝OB＝4，∴M点坐标为(－4，0)．②当点M在原点的右边(如图2)时，同理可证：OM＝OB＝4，此时M点坐标为(4，0)　∴M点坐标为(4，0)或(－4，0)； 　　(3)图1中，Rt△BON≌Rt△MOG，∴OG＝ON＝t，∴S＝OM·OG＝·4·t＝2t(其中0＜t＜4)，图2中，同理可得S＝2t．其中t＞4，∴所求的函数关系式为S＝2t，t的取值范围为t＞0且t≠4； (4)存在点R，使△ORA为等腰三角形，其坐标为：R1(－3，4)，R2(3，4)，R3(2，4)，R4(，4)，R5(8，4)．