Question

1．如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PD=$\frac{16}{3}$，AC=8，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，若点E是$\widehat{AB}$的中点，连接CE，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，证明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，证明结论；
（2）证明△ADP∽△ODA，得到成比例线段求出BC的长，根据S_阴=S_⊙O-S_△ABC求出答案；
（3）连接AE、BE，作BM⊥CE于M，分别求出CM和EM的长，求和得到答案．

解答 （1）证明：如图1，连接OC，
∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO=90°，
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，
∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠AOP=∠COP，
在△PAO和△PCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOP=∠COP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PCO，
∴∠PCO=∠PAO=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得PA，PC都为圆的切线，
∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，
∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，
∴∠PAD=∠AOD，
∴△ADP∽△ODA，
∴$\frac{AD}{PD}=\frac{DO}{AD}$，
∴AD²=PD•DO，
∵AC=8，PD=$\frac{16}{3}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=4，OD=3，AO=5，
由题意知OD为△的中位线，
∴BC=6，OD=6，AB=10．
∴S阴=$\frac{1}{2}$S_⊙O-S_△ABC=$\frac{25π}{2}$-24；
（3）解：如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M，
∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，
∵点E是$\widehat{AB}$的中点，
∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，
CM=MB=3$\sqrt{2}$，
BE=AB•cos45°=5$\sqrt{2}$，
∴EM=$\sqrt{B{E}^{2}-B{M}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
则CE=CM+EM=7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算和相似三角形的判定和性质，灵活运用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键．