Question

1．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D是$\widehat{AC}$上一点，且∠DAC=∠DBA，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连结AD．
（1）求证：DB平分∠CBA；
（2）连接CD，若CD=5，BD=12，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理即可得到结论；
（2）连接CD，由∠CBD=∠DBA，得到CD=AD，根据AB为直径，得到∠ADB=90°，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠DAC=∠DBC，∠DAC=∠DBA，
∴∠DBA=∠CBD，
∴DB平分∠CBA；
（2）解：连接CD，
∵∠CBD=∠DBA，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴CD=AD，
∵CD﹦5，
∴AD=5，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵BD=12，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=13，
故⊙O的半径为6.5．

点评 此题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟练利用圆周角定理得出各等量关系是解题关键．