Question

15．已知A（-1，0），B（2，3），C（0，3）三点在同一抛物上，该抛物线的顶点为D，直线AB与抛物线的对称轴的交点为E
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直线AB上有一点P，使得△ADE∽△ADP（相似比不为1），求△ADP的面积；
（3）已知抛物线上有一点M，使得∠MAD=45°，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把A（-1，0），B（2，3），C（0，3）三点坐标代入，解方程组即可．
（2）如图1中，作DQ⊥x轴交AB于Q，OM⊥x轴于M．首先求出AD、AE，由△ADE∽△APD，得$\frac{AD}{AP}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{AP}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$，推出AP=10$\sqrt{2}$，由OE∥PM，可得AO：AM=OE：PM=AE：AP，推出AM=PM=10，推出P（9，10），由此即可解决问题．
（3）如图2中，取点Q（5，2），作QF⊥x轴于F，DK⊥QF于K，作AH⊥DK于H．先证明△AHD≌△DKQ，推出AD=DQ，∠ADH=∠DQK，∠DAQ=45°，再求出直线AQ的解析式，利用方程组求出点M的坐标即可．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
把A（-1，0），B（2，3），C（0，3）三点坐标代入得到$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{a-b+c=0}\\{4a+2b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）如图1中，作DQ⊥x轴交AB于Q，OM⊥x轴于M．

∵A（-1，0），B（2，3），
∴直线AB是解析式为y=x+1，
∴E（0，1），Q（1，2），
∵D（1，4），
∴AD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AE-$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵△ADE∽△APD，
∴$\frac{AD}{AP}$=$\frac{AE}{AD}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{AP}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$，
∴AP=10$\sqrt{2}$，
∵OE∥PM，
∴AO：AM=OE：PM=AE：AP，
∴AM=PM=10，
∴P（9，10）．
∴S_△APD=$\frac{1}{2}$•DQ•AM=$\frac{1}{2}$•2•10=10．

（3）如图2中，取点Q（5，2），作QF⊥x轴于F，DK⊥QF于K，作AH⊥DK于H．

∵A（-1，0），D（1，4），Q（5，2），
∴H（-1，4），F（5，0），K（5，4），
∴DH=QK=2，AH=DK=4，
在△AHD和△DKQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=DK}\\{∠H=∠K=90°}\\{HD=QK}\end{array}\right.$，
∴△AHD≌△DKQ，
∴AD=DQ，∠ADH=∠DQK，
∵∠DQK+∠QDK=90°，
∴∠ADH+∠QDK=90°，
∴∠ADQ=90°．
∴∠DAQ=45°，
∵直线AQ的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=\frac{11}{9}}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为（$\frac{8}{3}$，$\frac{11}{9}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，二元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会取特殊点，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．