Question

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y=x+2的图象的一个交点为A（m，-1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设一次函数y=x+2的图象与y轴交于点B，OC⊥AB，垂足为C，求OC的长．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入直线可求得m，可求得A点坐标，再把A点坐标代入反比例函数解析式，根据待定系数法求得反比例函数解析式；
（2）设直线y=x+2与x轴的交点为D，可求得OB=OD，可判断△BOD为等腰直角三角形，再根据直角三角形的性质可求得OC．

解答 解：（1）∵A在y=x+2上，
∴-1=m+2，解得m=-3，
∴A（-3，-1），
∵A在y=$\frac{k}{x}$上，
∴-1=$\frac{k}{-3}$，解得k=3，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{3}{x}$；
（2）在y=x+2中，令x=0，可得y=2，
∴B（0，2），
如图，设直线y=x+2与x轴交于点D，

则D（-2，0），
∴OB=OD=2，
∵OC⊥AB，
∴∠DOC=∠BOC=∠OBC=45°，
∴OC=BC，
在Rt△BOC中，OB²=OC²+BC²，
∴2²=2OC²，
∴OC=$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得△BOD为等腰直角三角形是解题的关键．