Question

【题目】如图，矩形中，，，点是边上一定点，且．

(1)当时，上存在点，使与相似，求的长度．

(2)对于每一个确定的的值上存在几个点使得与相似?

Answer 1

【答案】(1)或3；(2)当且时，有3个；当时，有2个；当时，有2个；当时，有1个．

【解析】

（1）分△AEF∽△BFC和△AEF∽△BCF两种情形，分别构建方程即可解决问题；

（2）根据题意画出图形，交点个数分类讨论即可解决问题；

解：（1）当∠AEF=∠BFC时，
要使△AEF∽△BFC，需，即，

解得AF=1或3；
当∠AEF=∠BCF时，
要使△AEF∽△BCF，需，即，

解得AF=1；
综上所述AF=1或3．

（2）如图，延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连结CE′，交AB于点F1；
连结CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3．

当m=4时，由已知条件可得DE=3，则CE=5，

即图中圆的直径为5，

可得此时图中所作圆的圆心到AB的距离为2.5，等于所作圆的半径，F2和F3重合，

即当m=4时，符合条件的F有2个，

当m＞4时，图中所作圆和AB相离，此时F2和F3不存在，即此时符合条件的F只有1个，

当1＜m＜4且m≠3时，由所作图形可知，符合条件的F有3个，

综上所述：

当1＜m＜4且m≠3时，有3个；
当m=3时，有2个；
当m=4时，有2个；
当m＞4时，有1个．