Question

已知二次函数 (a、m为常数，且a¹0)。
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。
①当△ABC的面积等于1时，求a的值：
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。

Answer 1

（1）见解析（2）①a=-8或a=8②或或

解：（1）证明：，
令，即
∵当a¹0时，。
∴方程有两个不相等的实数根。
∴当a¹0时，不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。
（2）①∵，
∴点C的坐标为(,)。
当y=0时，。解得x₁=m，x₂=m+1。所以AB=1。
△ABC的面积等于1时，。
∴，或。
∴a=-8或a=8。
②当x=0时，y= am²+am，所以点D的坐标为(0, am²+am)。
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，。
∴或。
∴或或。
（1）由一元二次方程根的判别式大于0进行证明。
（2）①根据△ABC的面积等于1列方程求解。
②根据△ABC的面积与△ABD的面积相等列方程求解。