Question

已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连结，是线段上一动点，以为一边向右侧作正方形，连结．若，．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：；
（3）求的度数；
（4）当点沿轴正方向移动到点时，点也随着运动，则点所走过的路线长是        ．

Answer 1

（1）；（2）由（1）得点B、C的坐标，即可得到，证得≌，根据全等三角形的性质求解即可；（3）45°；（4）

试题分析：（1）由可知此抛物线的对称轴是轴，即，即可求得点B、C的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可；
（2）由（1）得点B、C的坐标，即可得到，证得≌，根据全等三角形的性质求解即可；
（3）作轴，交于点，易证≌，所以，，又因为，即得，从而可以求得结果；
（4）由（3）知，点在定直线上，当点沿轴正方向移动到点时，即得点所走过的路线长．
（1）由，可知此抛物线的对称轴是轴，即
所以
由，得
抛物线解析式为 ；
（2）由（1）得
所以 
在和中
，
所以≌ 
所以
所以
所以；
（3）作轴，交于点
易证≌
所以，
又因为
所以            
因为
所以；
（4）由（3）知，点在定直线上
当点沿轴正方向移动到点时，
点所走过的路线长等于．
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.