Question

【题目】在△ABC和△DCE中，CA=CB，CD=CE，∠CAB= ∠CED=α.

(1)如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点0.

①求证:BE= AD;

②用含α的式子表示∠AOB的度数(直接写出结果);

(2)如图2,当α=45°时，连接BD、AE,作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N.求证:N是BD的中点.

注:第(2)问的解答过程无需注明理由.

Answer 1

【答案】（1）①见解析②∠BOA=2α（2）见解析

【解析】

（1）①根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ACB=∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；

②根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE=α+∠BAO，根据三角形的内角和即可得到结论；

（2）如图2，作BP⊥MN的延长线上于点P，作DQ⊥MN于Q，根据全等三角形的性质得到MC=BP，同理CM=DQ，等量替换得到DQ=BP，根据全等三角形的性质即可得到结论.

（1）①∵CA=CB,CD=CE,∠CAB=∠CED=α，

∴∠ACB=180°-2α，∠DCE=180°-2α，

∴∠ACB=∠DCE

∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB

∴∠ACD=∠BCE

在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE

∴BE=AD；

②∵△ACD≌△BCE

∴∠CAD=∠CBE=α+∠BAO，

∵∠ABE=∠BOA+∠BAO

∴∠CBE+α=∠BOA+∠BAO

∴∠BAO+α+α=∠BOA+∠BAO

∴∠BOA=2α

（2）如图2，作BP⊥MN的延长线上于点P，作DQ⊥MN于Q，

∵∠BCP+∠BCA=∠CAM+∠AMC

∴∠BCA=∠AMC

∴∠BCP=∠CAM

在△CBP和△ACM中

∴△CBP≌△ACM（AAS）

∴MC=BP.

同理△CDQ≌△ECM

∴CM=DQ

∴DQ=BP

在△BPN和△DQN中

∴△BPN≌△DQN

∴BN=ND，

∴N是BD中点.