Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是。

（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意OB=，得OB=2，∴B（-2，0）；
（2）设抛物线的解析式为y=ax（x+2），代入点A（1，），得a=，
∴经过A、O、B三点的抛物线是y=；
（3）存在点C
∵点O关于对称轴的对称点是B，
∴对称轴与AB的交点就是存在的点C，使得△AOC的周长最小，AB+AO就是△AOC的最小周长
设直线AB的解析式为y=ax+b（a≠0），用待定系数法将A、B的坐标代入可求得
a=，b=，∴y=，
∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴将x=-1代入AB的解析式即可得到点C的坐标（-1，）；
（4）存在；
设P（x，y），由条件知x＜0，y＜0，
∵S_BPOD=S_△BPO+S_△BOD
=
=
=-
=
∴S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD=，
①若S_△AOD=S_BPOD
得，
解得（舍去），
将代入抛物线的解析式可得y=，
∴P，
②若S_△BOD=S_BPOD，
∵S_△BOD=，
∴，
解得，分别代入抛物线的解析式可得，
∴P或P（-2，0），
∵点P在轴下方，
∴P（-2，0）不符合题意舍去，
∴只存在一个点P（-，-）符合条件