Question

18．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E、F、G、H分别在四边上，且四边形EFGH为矩形，若EF=2EH，则AE=$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 根据四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是矩形得到∠A=∠B=∠C=90°，∠HEF=90°，HE=GF，证得△AEH≌△CGF，于是得到CF=AH，由于△AEH∽△BEF，得到比例式$\frac{AH}{BE}=\frac{AE}{BF}=\frac{EH}{EF}=\frac{1}{2}$，得到BF=2AE，CF=AH=$\frac{1}{2}$BE，解方程组即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠HEF=90°，HE=GF，
∴∠AEH+∠BEF=∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AEH=∠BFE，
同理∠AEH=∠FGC，
在△AEH与△CGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C=90°}\\{∠AEH=∠CGF}\\{EH=GF}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△CGF，
∴CF=AH，
∵∠AEH=∠BFE，∠A=∠B，
∴△AEH∽△BEF，
∴$\frac{AH}{BE}=\frac{AE}{BF}=\frac{EH}{EF}=\frac{1}{2}$，
∴BF=2AE，CF=AH=$\frac{1}{2}$BE，
∴2AE+$\frac{1}{2}$BE=BF+CF=4，
∵AE+BE=3，
∴AE=$\frac{5}{3}$．
故答案为：$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．