Question

如图，AB是圆O的直径，点C、D在圆O上，且AD平分∠CAB.过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E,与AB的延长线相交于点F.

(1)求证：EF与圆O相切；

(2)若AB=6，AD=4，求EF的长。

（第23题）

  

Answer 1

解：（1）证明：联接OD如图,因为OA=OD,所以∠OAD=∠ODA

又因为AD平分∠BAC,所以∠OAD=∠CAD

所以∠ODA=∠CAD。所以OD∥AE,又因为EF垂直于AE,所以OD垂直于EF,

所以EF与圆O相切；

（第23题答图1）

（2）如图联接OD、CD、BD、BC，则CD=BD,因为AB是直径，所以∠ACB=∠ADB=90°，

又因为AB=6，AD=4，所以BD=,所以CD=2.

因为∠ACB=∠E,所以BC∥EF.

因为AD平分∠CAB,所以∠OAD=∠CAD，又因为∠ADB=∠E,所以△ADE∽△ABD

,所以，所以DE=.

在Rt△CDE中，CE=所以DG=.OG=3-=.

在Rt△OGB中，GB=

因为∠ACB=∠E,所以BC∥EF.所以△OGB∽△ODF,所以，所以DF=.

所以EF=DE+DF=+=.

（第23题答图2）