Question

18．利用勾股定理，可以作出长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、…的线段，如图：在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，则AC的长等于$\sqrt{5}$．在按同样的方法，可以在数轴上画出表示$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、…的点．
（1）在数轴上作出表示-$\sqrt{2}$的点（尺规作图，保留痕迹）．
（2）在数轴上作出表示$\sqrt{3}$的点（尺规作图，保留痕迹）．

Answer 1

分析 利用勾股定理直接计算即可求出AC的长；
（1）作边长为1的正方形ABOC，连接OA，以O为圆心，以OA为半径画弧交数轴的负半轴于D，即可得到答案．
（2）$\sqrt{3}$可以看作两直角边长分别为1，$\sqrt{2}$的直角三角形的斜边长；而$\sqrt{2}$又可以看作两直角边长分别为1，1的直角三角形的斜边长．

解答 解：∵在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，
∴AC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
（1）如图所示：-$\sqrt{2}$所在的点的位置是D．

（2）如图所示：

①作一个等腰直角三角形，使其两直角边都是1，则斜边为$\sqrt{2}$；
②作一个直角三角形，使其两直角边分别为1，$\sqrt{2}$，则斜边为$\sqrt{3}$；
③在数轴上，以原点O为圆心，$\sqrt{3}$为半径画弧，与数轴正半轴交于点A．
则点A就是所求的点．

点评 本题主要考查对勾股定理，实数与数轴等知识点的理解和掌握，能正确画图是解此题的关键．