Question

如图，在直角坐标平面中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴的负半轴上，cos∠ABC=

4

5

，OB=4．
（1）求B，C两点的坐标；
（2）求证：△AOC∽△COB；
（3）求经过点A，B，C三点的抛物线解析式．

Answer 1

分析：（1）根据OB=4求出B点坐标，再由cos∠ABC=

4

5

可求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理可求出OC的长，故可得出C点坐标；
（2）根据∠ACB=90°可知∠ACO+∠BCO=90°，再由∠OBC+∠BCO=90°可得出∠ACO=∠OBC，由∠AOC=∠BOC=90°即可得出结论；
（3）由（2）中△AOC∽△COB可知

AO

CO

=

CO

BO

，由此可求出AO的长，故可得出A点坐标，由待定系数法即可求出过ABC三点的抛物线的解析式．

解答：解：（1）∵点B在x轴的正半轴上，OB=4，
∴B（4，0），
∵cos∠ABC=

4

5

，
∴

OB

BC

=

4

BC

=

4

5

，解得BC=5，
在Rt△OBC中，
∵OB²+OC²=BC²，即4²+OC²=5²，解得x=3，
∴C（0，-3）；

（2）证明：∵∠ACB=90°
∴∠ACO+∠BCO=90°
又∵∠OBC+∠BCO=90°
∴∠ACO=∠OBC                                    
又∵∠AOC=∠BOC=90°
∴△AOC∽△COB；

（3）∵△AOC∽△COB
∴

AO

CO

=

CO

BO

，
∴AO=

CO2

BO

=

9

4

∴A（

9

4

，O）                                              
∵A（

9

4

，O），B（4，0），
∴设经过点A，B，C三点的抛物线解析式为y=a（x-

9

4

）（x-4），
把点C（0，-3）代入得，9a=-3，解得a=-

1

3

，
故经过点A，B，C三点的抛物线解析式为：y=-

1

3

x²+

25

12

x-3．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，勾股定理及用待定系数法求二次函数的解析式等知识，难度适中．