题目内容
在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立如图所示的
平面直角坐标系．（1）求点的坐标：A
（2）求以E为顶点，对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的解析式；
（3）求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；
（4）△PEB的面积S△PEB与△PBC的面积S△PBC具有怎样的关系？证明你的结论．
分析：（1）根据题意和图象可知OA=OB=1，AD=BC=4，所以（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）；
（2）根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，把点B（0，-1）代入可得a=-
，即可求得二次函数的解析式；
（3）利用直线BD的解析式为y=
x-1，和抛物线解析式联立成方程组即可求得交点坐标为P（3，
）；
（4）分别求出S△PEB=
S△PBC•S△PBC=
×4×
=3，S△PEB=
×（1×2+1×1）=
，从而证明S△PEB=
S△PBC．
（2）根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，把点B（0，-1）代入可得a=-
| 1 |
| 2 |
（3）利用直线BD的解析式为y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（4）分别求出S△PEB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（1）A（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，
∵抛物线经过点B（0，-1），
∴a（0-2）2+1=-1，解得a=-
，
∴抛物线的解析式为y=-
（x-2）2+1，
经验证，抛物线y=-
（x-2）2+1经过点C（4，-1）；
（3）直线BD的解析式为y=
x-1，解方程组得点P的坐标：P（3，
）；
（4）S△PEB=
S△PBC•S△PBC=
×4×
=3，S△PEB=
×（1×2+1×1）=
，
∴S△PEB=
S△PBC．
解：（1）A（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）；（2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，
∵抛物线经过点B（0，-1），
∴a（0-2）2+1=-1，解得a=-
| 1 |
| 2 |
∴抛物线的解析式为y=-
| 1 |
| 2 |
经验证，抛物线y=-
| 1 |
| 2 |
（3）直线BD的解析式为y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（4）S△PEB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴S△PEB=
| 1 |
| 2 |
点评：主要考查了坐标的对称特点和二次函数中的有关性质．本题是数形结合的综合题，要熟练运用解析式与点的坐标之间的关系求解．把几何图形有机的和二次函数结合起来．
练习册系列答案
相关题目
7、如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF=3，AE=5，则AD等于（ ）
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=7，P是BC边上与B点不重合的动点，过点P的直线交CD的延长线于R，交AD于Q（Q与D不重合），且∠RPC=45°，设BP=x，梯形ABPQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并求自变量x的取值范围．
如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE=DC．求证：AE=BF．
在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，E为AB边上一点，连接DE，过C作CF垂直DE．
如图，在矩形ABCD中，AF、BE、CE、DF分别是矩形的四个角的角平分线，E、M、F、N是其交点，求证：四边形EMFN是正方形．