Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B和点C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，求四边形ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标．

（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，写出点P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）四边形ACFB面积的最大值为，此时点E的坐标为（，﹣）；（3）存在满足条件的P点，其坐标为（1，﹣3）或（1，﹣2）或（1，﹣4+）或（1，﹣4﹣）

【解析】

（1）由B、C的坐标，结合抛物线对称轴，根据待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由B、C坐标可求得直线BC解析式，设出F点坐标，则可表示出E点坐标，从而可求得EF的长，则可表示出△CBF的面积，从而可表示出四边形ACFB的面积，再利用二次函数的性质可求其最大值，进而求出E点的坐标；

（3）由抛物线解析式可求得D点坐标，可设P点坐标为（1，t），则可表示出PC、PD和CD的长，由等腰三角形可分PC＝PD、PC＝CD和PD＝CD三种情况，分别得到关于t的方程，即可求得P点坐标．

解：（1）∵点B和点C的坐标分别为（3，0）（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2））设直线BC解析式为y＝kx+b，

代入B（3，0），C（0，﹣3）得，

解得：，

∴直线BC解析式为y＝x﹣3，

∵E点在直线BC上，F点在抛物线上，

∴设F（x，x2﹣2x﹣3），E（x，x﹣3），

∵点F在线段BC下方，

∴EF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，

∴S△BCF＝EFOB＝×3（﹣x2+3x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，

又∵S△ABC＝ABOC＝×4×3＝6，

∴S四边形ACFB＝S△ABC+S△BCF＝6﹣（x﹣）2+＝﹣（x﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴当x＝时，S四边形ACFB有最大值，最大值为，此时E点坐标为（，﹣），

综上可得：四边形ACFB面积的最大值为，此时点E的坐标为（，﹣）；

（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4），且C（0，﹣3），

∵P点为抛物线对称轴上的一点，

∴设P（1，t），

∴PC＝＝，PD＝|t+4|，CD＝＝，

∵△PCD为等腰三角形，

∴分PC＝PD、PC＝CD和PD＝CD三种情况，

①当PC＝PD时，则＝|t+4|，解得t＝﹣3，

∴此时P点坐标为（1，﹣3）；

②当PC＝CD时，则＝，解得t＝﹣2或t＝﹣4（与D点重合，舍去），

∴此时P点坐标为（1，﹣2）；

③当PD＝CD时，则|t+4|＝，解得t＝﹣4+或t＝﹣4﹣，

∴此时P点坐标为（1，﹣4+）或（1，﹣4﹣）；

综上可知，存在满足条件的P点，其坐标为（1，﹣3）或（1，﹣2）或（1，﹣4+）或（1，﹣4﹣）．