题目内容
【题目】如图1，抛物线
与
轴交于
两点，与
轴交于点
，
，矩形
的边
，延长
交抛物线于点
.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，点
是直线
上方抛物线上的一个动点，过点
作
轴的平行线交直线
于点
，作
，垂足为
.设
的长为
，点
的横坐标为
，求
与
的函数关系是（不必写出
的取值范围），并求出
的最大值；
（3）如果点
是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点
，使得以
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的
的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣
x2﹣
x+2；（2）l=﹣
（m+
）2+
，最大值为；（3）（2，﹣
）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．
【解析】
试题分析：（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．
试题解析：（1）∵矩形OBDC的边CD=1，
∴OB=1，
∵AB=4，
∴OA=3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得
，
解得
，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；
（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，
∴E（﹣2，2），
∴直线OE解析式为y=﹣x，
由题意可得P（m，﹣ m2﹣m+2），
∵PG∥y轴，
∴G（m，﹣m），
∵P在直线OE的上方，
∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣
m+2=﹣（m+）2+
，
∵直线OE解析式为y=﹣x，
∴∠PGH=∠COE=45°，
∴l=
PG= [﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，
∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，
则∠ALF=∠ACO=∠FNM，
在△MFN和△AOC中
∴△MFN≌△AOC（AAS），
∴MF=AO=3，
∴点M到对称轴的距离为3，
又y=﹣x2﹣
x+2，
∴抛物线对称轴为x=﹣1，
设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，
当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=，
∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；
②当AC为对角线时，设AC的中点为K，
∵A（﹣3，0），C（0，2），
∴K（﹣
，1），
∵点N在对称轴上，
∴点N的横坐标为﹣1，
设M点横坐标为x，
∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，
∴M（﹣2，2）；
综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．
