Question

8．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交DC于点P，则下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；③CD+CE=$\sqrt{2}$OA；④AD²+BE²=2OP•OC．其中正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 找出图中全等的三角形有3对，判定（1）；由全等三角形的性质可以判断（2）；利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断（3）；利用全等三角形和勾股定理进行判断（4）．

解答 解：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，
∴∠AOD=∠COE．
在△AOD与△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠OCE=45°}\\{OA=OC}\\{∠AOD=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COE（ASA）．
同理可证：△COD≌△BOE．故①错误．
∵△AOD≌△COE，
∴S_△AOD=S_△COE，
∴S_{四边形CDOE}=S_△COD+S_△COE=S_△COD+S_△AOD=S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．故②正确．
结论③正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴CE=AD，
∴CD+CE=CD+AD=AC=$\sqrt{2}$OA．故③正确．
∵△AOD≌△COE，
∴AD=CE；
∵△COD≌△BOE，
∴BE=CD．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD²+CE²=DE²，
∴AD²+BE²=DE²．
∵△AOD≌△COE，
∴OD=OE，
又∵OD⊥OE，
∴△DOE为等腰直角三角形，
∴DE²=2OE²，∠DEO=45°．
∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，
∴△OEP∽△OCE，
∴$\frac{OE}{OC}$=$\frac{OP}{OE}$，即OP•OC=OE²．
∴DE²=2OE²=2OP•OC，故④正确，
综上所述，正确的结论是（2）（3）（4）3个．
故选：C．

点评 本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．综合利用知识，灵活解决问题．