Question

已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a²c²﹣b²c²=a⁴﹣b⁴，试判断△ABC的形状．

解：∵a²c²﹣b²c²=a⁴﹣b⁴，①

∴c²（a²﹣b²）=（a²+b²）（a²﹣b²）．②

∴c²=a²+b²．③

∴△ABC是直角三角形．

问：

（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：__________；

（2）错误的原因为__________；

（3）本题正确的解题过程：

Answer 1

【考点】勾股定理的逆定理．

【专题】推理填空题．

【分析】（1）（2）两边都除以a²﹣b²，而a²﹣b²的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．

（3）根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论．

【解答】解：（1）③

（2）除式可能为零；

（3）∵a²c²﹣b²c²=a⁴﹣b⁴，

∴c²（a²﹣b²）=（a²+b²）（a²﹣b²），

∴a²﹣b²=0或c²=a²+b²，

当a²﹣b²=0时，a=b；

当c²=a²+b²时，∠C=90°，

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

故答案是③，除式可能为零．

【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．