Question

如图，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．
（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论．
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向继续旋转，使点E落在AB上，请你画出图形，并判断（2）中的结论是否还成立？（回答“成立”或“不成立”）

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长GC交AE于点H，根据正方形的性质可得AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG，然后利用“边角边”证明△ADE和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，再求出∠1+∠3=90°，然后根据三角形的内角和定理列式计算求出∠AHG=90°，根据垂直的定义证明即可；
（2）延长AE和GC相交于点H，根据正方形的性质可得AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，再根据同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“边角边”证明△ADE和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠5=∠4，再根据平角等于180°求出∠6=∠7，然后求出∠EHC=90°，再根据垂直的定义证明即可；
（3）结论仍然成立．

解答：（1）AE⊥GC．证明：延长GC交AE于点H，
∵在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90°，
∴AE⊥GC；

（2）成立．
证明：延长AE和GC相交于点H，
∵在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD=DC，DE=DG，
∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，
∴∠1=∠2=90°-∠3，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠5=∠4，
又∵∠5+∠6=90°，
∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，∠6=∠7，
又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，
∴∠CEH+∠7=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC；

（3）如图，结论AE⊥GC成立．
同理可证△ADE≌△CDG，
∴∠3=∠4，
∵∠1+∠3=90°，∠1=∠2，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠DCG=90°，
∴GC⊥CD，
∵AB∥CD，点E在AB上，
∴AE⊥GC．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的定义，熟记性质并确定出全等的三角形是解题的关键，利用阿拉伯数字表示角更形象直观．