Question

如图，AB是半⊙O的直径，点C是半圆弧的中点，点D是弧AC的中点，连结BD交AC、OC于点E、F．
（1）在图中与△BOF相似的三角形有

 

个；
（2）求证：BE=2AD；
（3）求

DE

BE

的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用相似三角形的判定方法结合圆周角定理得出即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质得出△ACG≌△BCE（ASA），进而求出即可；
（3）利用已知首先判断△DHE∽△BCE，进而得出答案．

解答：（1）解：与△BOF相似的三角形有△BAD；△EAD；△BEC共3个．
故答案为：3；

（2）证明：如图，延长AD与BC相交于G，
∵点C是半圆弧的中点，点D是弧AC的中点，
∴∠CBE=∠GAC，
在△ACG和△BCE中
∵

∠GAC=∠CBE AC=BC ∠ACG=∠BCE

∴△ACG≌△BCE（ASA）
∴BE=AG，而AG=2AD，
∴BE=2AD．

（3）解：如图，连接OD交AC于点H，
则OD⊥AC，可得：DH∥BC，
故△DHE∽△BCE，
故

DE

BE

=

DH

BC

设BC=2x，则OD=OB=

2

x，
故OH=x，DH=（

2

-1）x，
则

DE

BE

=

2 -1

2

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确利用圆周角定理得出对应角相等是解题关键．