Question

【题目】如图，等腰直角三角形ABC中，点D在斜边BC上，以AD为直角边作等腰直角三角形ADE．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）求证：BD2＋CD2＝2AD2．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）通过证BA＝CA，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，得出△ABD≌△ACE；

（2）证CE=BD,DE2=2AD2，再在Rt△CDE中利用勾股定理即可.

解：∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形，

∴∠BAC＝∠DAE＝90°，BA＝CA，AD＝AE，∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝45°，

∴∠BAD＋∠DAC ＝∠CAE＋∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE．

在△ABD与△ACE中，BA＝CA，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE．

（2）∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD＝∠ACE＝45°，BD=CE．

∴∠ECD＝∠ACE＋∠ACB＝90°，

∴CE2＋CD2＝DE2．

∵△ADE是等腰直角三角形，

∴DE2＝AD2＋AE2＝2AD2．

∴BD2＋CD2＝2AD2．