Question

如图，已知B，C，D，E四点在同一条直线上，且BA=BD，CA=CE
（1）当∠BAC=100°，∠ACB=50°时，∠1=______
（2）当∠BAC=100°，∠ACB=70°时，∠1=______
（3）当∠BAC=80°，∠ACB=50°时，∠1=______
（4）当∠BAC=80°，∠ACB=70°时，∠1=______
由上述可知，∠1的大小与∠ACB的大小无关，只与∠BAC的大小有关，猜想∠1与∠BAC有怎样的等量关系？并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠BAC=100°，∠ACB=50°，
∴∠B=30°，
又∵BA=BD，∴∠BAD═∠ADB=（180°-∠B）=75°，
∵∠ACB=50°，CA=CE，
∴∠AEC=∠CAE=（180°-∠C）=65°，
∴在△EAD中，∠BAE=180°-75°-65°=40°，
故答案为：40°；

（2）同（1）可得∠1=40°；

（3）同（1）可得∠1=50°；

（4）同（1）可得∠1=50°．

猜想：∠1+∠BAC=90°．
理由：∵BA=BD，
∴∠ADE=（180°-∠B）=90°-∠B，
∵CA=CE，
∴∠AEC=（180°-∠ACB）=90°-∠C，
∴在△EAD中，
∠BAE=180°-∠AEC-∠ADB
=180°-（90°-∠B）-（90°-∠C）

=∠B+∠C
=（180°-∠BAC）
=90°-∠BAC，
∴∠1+∠BAC=90°．
分析：（1）先根据三角形内角和定理得出∠B=30°，再由△ABD是顶角为30°的等腰三角形，求出∠BAD=75°，然后根据△ACE是顶角为50°的等腰三角形，求出∠AEC=65°，根据三角形的外角性质得出∠BAE=35°，从而得出∠1的度数；
（2）（3）（4）同（1）可得；
由上可猜想：∠1+∠BAC=90°．
点评：本题考查三角形的内角和定理及其外角的性质，等腰三角形的性质；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．本题由易到难，由特例到一般，是一道提高学生能力的训练题．