Question

16．如图，一次函数y₁=k₁x+2与反比例函数${y_2}=\frac{k_2}{x}$的图象交于点A（4，m）和B（-8，-2），与y轴交于点C．
（1）k₁=$\frac{1}{2}$，k₂=16；
（2）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当S_{四边形ODAC}：S_△ODE=3：1时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把B点的坐标分别代入一次函数y₁=k₁x+2与反比例函数${y_2}=\frac{k_2}{x}$的解析式即可求出k₂、k₁的值；
（2）先求出四边形ODAC的面积，从而求出DE的长，然后得出点E的坐标，最后求出直线OP的解析式即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）∵一次函数y₁=k₁x+2与反比例函数${y_2}=\frac{k_2}{x}$的图象交于点A（4，m）和B（-8，-2），
∴k₂=（-8）×（-2）=16，-2=-8k₁+2，
∴k₁=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$，16；

（2）由（1）知，y₁=$\frac{1}{2}$x+2，y₂=$\frac{16}{x}$，
∴m=4，点C的坐标是（0，2）点A的坐标是（4，4），
∴CO=2，AD=OD=4，
∴S_{四边形ODAC}=$\frac{1}{2}$（2+4）×4=12．
∵S_梯形ODAC：S_△ODE=3：1，
∴S_△ODE=$\frac{1}{3}$S_梯形ODAC=$\frac{1}{3}$×12=4，
即$\frac{1}{2}$OD•DE=4，
∴DE=2，
∴点E的坐标为（4，2）．
又点E在直线OP上，
∴直线OP的解析式是y=$\frac{1}{2}$x．
∴直线OP与y₂=$\frac{16}{x}$的图象在第一象限内的交点P的坐标为（4$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形、梯形的面积，在解题时要综合应用反比例函数的图象和性质以及求一次函数与反比例函数交点坐标是本题的关键．