Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AE⊥BC于点E，AB的垂直平分线GF交BC于点F，交AB于点G，连接AF．已知AD=1.4，AF=5，GF=4．
（1）求梯形ABCD的腰AB的长；
（2）求梯形AFCD的面积．

Answer 1

解：（1）在Rt△AGF中，AF=5，GF=4，
∴AG=．
又∵GF垂直平分AB，
∴AB=2AG=6；

（2）∵GF垂直平分AB，
∴BF=AF=5．
∴∠B=∠FAG．
由（1）知：sinB=sin∠FAG==，
∴cosB=．
在Rt△ABE中，AE=AB•sinB=6×=，
BE=AB•cosB=6×=．
在Rt△AFE中，AF=5，AE=，
可求得EF=AD=1.4．
∴CF=2BE+EF-BF=2×+1.4-5=3.6，
梯形AFCD的面积为：（AD+CF）•AE=×（1.4+3.6）×=12．
分析：（1）在Rt△AGF中，利用勾股定理即可求得AG的长，又由GF垂直平分AB，即可求得AB的长；
（2）利用三角函数的知识，即可求得sinB与cosB的值，在Rt△ABE中，即可求得AE与BE的长，在Rt△AFE中，求得EF的长，即可求得CF的长，则可得梯形AFCD的面积．
点评：此题考查了垂直平分线，三角函数，勾股定理以及梯形的面积的求解方法等知识．题目综合性较强，图形也较复杂，但难度不大，注意数形结合思想的应用．