题目内容
【题目】已知菱形
中，
为对角线，点
是
的中点，连接
交于点
，
的垂直平分线
交于点
，交于点
，连接
.
（1）若
，求证：四边形是正方形
（2）已知
，求的长；
（3）若固定，设
，将
绕着点
从点
开始逆时针旋转过程中，菱形也随之变化，且
满足
，若
是直角三角形，直接写出的值；
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）
．
【解析】
（1）由菱形的性质可得
，由垂直平分线的性质可得，
，由等边对等角可得：
，等量代换可得
，由平行线的判定及性质可得
，
＝90°，继而由正方形的判定求证结论；
（2）由菱形的性质可知，
，由相似三角形的判定可得
，继而由相似三角形对应边成比例的性质可得：
，根据题（1）可知，进而可证△BGE∽△BAD，由此可知
，代入数据，求出
，最后由线段垂直平分线的性质求解；
（3）根据题意，从旋转过程中可看出，线段
在旋转360°的过程中，
由0°增大到90°再减小到0°再增加到90°再到0°，据此结合图形即可求解．
解：（1）∵四边形
是菱形
∴
，∴，∵
的垂直平分线交
于点
∴，∴，∴
∴∴∵
，
∴
∵四边形是菱形
∴四边形是正方形
（2）∵四边形是菱形
∴，∴；
∴
∴
∵∴△BGE∽△BAD，∴
∵
∴
∵的垂直平分线交于点∴
．
（3）若
是直角三角形时
的值可能是60°，90°，270°或300°
∵从旋转过程中可看出，线段在旋转360°的过程中，由0°增大到90°再减小到0°再增加到90°再到0°
∴第一次出现是直角三角形时，如图1所示，此时
为的一半，可得旋转角度
即为60°；第二次出现是直角三角形时，如图2所示，此时（1）中已证明旋转角度即为90°；当继续旋转时到达
的下方，同理可得旋转角度为270°和300°．
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