Question

【题目】如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，

(1)求C点的坐标；

(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OPDE的值；

(3)如图3,已知点F坐标为(2,2),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时,作Rt△FGH,始终保持∠GFH=90,FG与y轴负半轴交于点G(0,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,0)，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①mn为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值.

Answer 1

【答案】(1)点C的坐标为(6,2)； (2) OPDE= 2； (3)结论②是正确的，m+n=4.

【解析】

（1）过C点作CM⊥x轴于M点，因为AC＝AB，则作CM⊥x轴，即求CM和AM的值，容易得△MAC≌△OBA，根据已知即可求得C点的值；
（2）求OPDE的值则将其放在同一直线上，过D作DQ⊥OP于Q点，即是求PQ的值，由图易求得△AOP≌△PDQ（AAS），即可求得PQ的长；
（3）利用（2）的结论，可知m＋n为定长是正确的，过F分别作x轴和y轴的垂线，类似（2），即可求得m＋n的值．

(1)过C作CM⊥x轴于M点，如图1，

∵CM⊥OA，AC⊥AB，

∴∠MAC+∠OAB=,∠OAB+∠OBA=

则∠MAC=∠OBA

在△MAC和△OBA中

则△MAC≌△OBA(AAS)

则CM=OA=2,MA=OB=4,则点C的坐标为(6,2)；

(2)过D作DQ⊥OP于Q点,如图2,

则OPDE=PQ,∠APO+∠QPD=，

∠APO+∠OAP=，则∠QPD=∠OAP，

在△AOP和△PDQ中

则△AOP≌△PDQ(AAS)

∴OPDE=PQ=OA=2；

(3)结论②是正确的，m+n=4，

如图3,过点F分别作FS⊥x轴于S点,FT⊥y轴于T点,

则FS=FT=2，∠FHS=∠HFT=∠FGT，

在△FSH和△FTG中

则△FSH≌△FTG(AAS)

则GT=HS，

又∵G(0,m),H(n,0),点F坐标为(2,2)，

∴OT═OS=2，OG=|m|=m，OH=n，

∴GT=OGOT=m2，HS=OH+OS=n+2，

则2m=n+2，

则m+n=4.